Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar si existen enteros positivos $a,b,c$ tales que \[a^4=b^3+c^2.\]

Se escriben consecutivamente todos los números enteros del $19$ al $80$ para formar el número $N=19202122\ldots 7980$. Determinar si $N$ es divisible por $1980$.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos primos entre sí. El intervalo $[0,1]$ se divide en $m+n$ subintervalos iguales. Demostrar que cada uno de ellos, excepto el primero y el último, contienen exactamente uno de los números \[\frac{1}{m},\frac{2}{m},\ldots,\frac{m-1}{m},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n-1}{n}.\]

Sea $n\gt 3$ un entero y sea $S$ el conjunto de puntos $(a,b)$ de coordenadas enteras $0\leq a,b\lt n$. Demostrar que podemos encontrar $n$ puntos en $S$ de forma que no haya tres alineados ni cuatro que sean los vértices de un paralelogramo.

Consideremos el polinomio $p(x)=x^2+x+1$. Demostrar que, para todo entero positivo $n$, los números $p(n),p(p(n)),p(p(p(n))),\ldots$ son primos relativos dos a dos.