Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Probar que no hay ningún entero positivo $n$ tal que $1000^n-1$ divida a $1978^n-1$.

Diremos que un entero positivo es un cuadrado doble si es un cuadrado con un número par $2n$ de dígitos en el sistema decimal y tanto sus primeros $n$ dígitos como sus últimos $n$ dígitos forman a su vez cuadrados perfectos no nulos. Por ejemplo, $1681$ es un cuadrado doble pero $2500$ no lo es.

1. Encontrar todos los cuadrados dobles de $2$ dígitos y de $4$ dígitos.
2. Determinar si existen o no cuadrados dobles de $6$ dígitos.
3. Demostrar que hay cuadrados dobles de $20$ dígitos.
4. Demostrar que hay al menos diez cuadrados dobles de $100$ dígitos.
5. Demostrar que hay algún cuadrado doble de $30$ dígitos.

Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros y sea $f(n)$ la suma de los dígitos de $p(n)$ en el sistema decimal. Demostrar que existe un entero positivo $a$ tal que $f(n)=a$ para infinitos valores de $n$.

¿Cuál es el menor perímetro que puede tener un polígono convexo de $32$ lados si sus vértices tienen todos coordenadas enteras?

Encontrar todos los números de tres dígitos $\overline{abc}$ que sean iguales a la media aritmética de los seis números \[\overline{abc},\quad\overline{acb},\quad\overline{bac},\quad\overline{bca},\quad\overline{cab},\quad\overline{cba}.\]

Nota. $\overline{xyz}$ indica el número natural de tres cifras que tiene $x$ centenas, $y$ decenas y $z$ unidades.