Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos el conjunto \[A =\left\{1+\tfrac{1}{k}|k=1,2,3,\ldots\right\}.\]

1. Demostrar que todo entero $x\geq 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos.
2. Para todo entero $x\geq 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de A, no necesariamente distintos. Demostrar que existen infinitos pares $(x,y)$ de enteros con $x\geq 2$ e $y\geq 2$, tales que \[f(xy)\lt f(x) + f(y).\]

Sea $n\geq 2$ un entero. Una $n$-upla $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ de enteros positivos no necesariamente distintos se dice que es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que \[(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k−1}.\]

1. Encontrar todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales existe una $n$-upla costosa.
2. Demostrar que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n\geq 2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-upla costosa.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $n^4$ tiene un divisor en el conjunto $\{n^2+1,n^2+2,\ldots,n^2+2n\}$. Demostrar que hay infinitos elementos en $S$ de cada una de las formas $7m$, $7m+1$, $7m+2$, $7m+5$ y $7m+6$, pero $S$ no contiene elementos de la forma $7m+3$ y $7m+4$, siendo $m$ un entero.

Sean $n$ y $m$ enteros mayores que $1$ y sean $a_1,a_2,\ldots,a_m$ enteros positivos menores o iguales que $n^m$. Demostrar que existen enteros positivos $b_1, b_2,\ldots, b_m$ menores o iguales que $n$, tales que \[\mathrm{mcd}(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_m+b_m)\lt n,\] donde $\mathrm{mcd}(x_1, x_2,\ldots, x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1, x_2,\ldots, x_m$.

Denotamos por $d(m)$ el número de divisores positivos de un entero positivo $m$, y por $\omega(m)$ el número de primos distintos que dividen a $m$. Sea $k$ un entero positivo. Demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $\omega(n)=k$ y $d(n)$ no divide a $d(a^2+b^2)$ para todos $a$ y $b$ enteros positivos tales que $a+b=n$.