Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Al ser múltiplo de $2$ y de $5$, tiene que ser múltiplo de $10$ y, por tanto, la cifra de las unidades será $0$. Pongamos entonces que $n=1000a+100b+10c$. Que sea múltiplo de $3$ nos dice que $a+b+c$ es múltiplo de $3$. Ahora bien, los dígitos pueden ser únicamente $0,1,4,9$ y $a\neq 0$. Como $1$ y $4$ dan resto $1$ al dividirlos entre $3$, $a+b+c$ es múltiplo de $3$ únicamente si los tres dígitos son ceros y nueves(con $a\neq 0$) o los tres son unos y cuatros. Por otro lado, que sea múltiplo de $7$ nos dice que $6a+2b+3c$ es múltiplo de $7$. Distingamos casos según el valor de $a$:

• Si $a=9$, entonces $54+2b+3c$ tiene que ser múltiplo de $7$; como en este caso $b$ y $c$ son cada uno cero o nueve, llegamos fácilmente a que ninguna elección de $b$ y $c$ cumplen estas condiciones.
• Si $a=1$, entonces $6+2b+3c$ debe ser múltiplo de $7$; como en este caso $b$ y $c$ son iguales a uno o cuatro, comprobamos fácilmente que tampoco hay elección que nos dé un múltiplo de $7$.
• Por último, si $a=4$, entonces $24+2b+3c$ debe ser múltiplo de $7$ y también tenemos que $b$ y $c$ son iguales a uno o cuatro. Comprobamos fácilmente que $b=4$ y $c=1$ es la única posibilidad para que esto ocurra.

Concluimos que $n=4410$ es el único número que cumple las condiciones dadas.

Nota. En realidad, tenemos que el número es múltiplo de $210$ luego no es descabellado escribir rápidamente los $43$ múltiplos de $21$ entre $105=5\cdot 21$ y $987=47\cdot 21$ para simplemente chequear cuáles tienen únicamente dígitos $0,1,4,9$. Estos múltiplos son: 105, 126, 147, 168, 189, 210, 231, 252, 273, 294, 315, 336, 357, 378, 399, 420, 441, 462, 483, 504, 525, 546, 567, 588, 609, 630, 651, 672, 693, 714, 735, 756, 777, 798, 819, 840, 861, 882, 903, 924, 945, 966, 987.