Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $f(n)$ la suma de $n$ y sus dígitos (por ejemplo, se tiene que $f(34)=34+3+4=41$).

1. ¿Existe algún entero $n$ tal que $f(n)=1980$?
2. Demostrar que para todo entero positivo $m$ se puede encontrar $n$ tal que $f(n)=m$ o bien $f(n)=m+1$.

Un número $N$ tiene seis dígitos, todos ellos distintos y distintos de cero. Si $N$ es divisible por $37$, demostrar que se pueden obtener al menos otros $23$ números que también son divisibles por $37$ permutando dígitos de $N$.

Determinar si existen enteros positivos $a,b,c$ tales que \[a^4=b^3+c^2.\]

Se escriben consecutivamente todos los números enteros del $19$ al $80$ para formar el número $N=19202122\ldots 7980$. Determinar si $N$ es divisible por $1980$.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos primos entre sí. El intervalo $[0,1]$ se divide en $m+n$ subintervalos iguales. Demostrar que cada uno de ellos, excepto el primero y el último, contienen exactamente uno de los números \[\frac{1}{m},\frac{2}{m},\ldots,\frac{m-1}{m},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n-1}{n}.\]