Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todas las ternas $(p,q,r)$ de enteros positivos, donde $p$ y $q$ son números primos, tales que: \[\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2.\]

Una terna ordenada de números primos $(p,q,r)$ es parcera si cumple que $p$ divide a $q^2-4$, $q$ divide a $r^2-4$ y $r$ divide a $p^2-4$. Encontrar todas las triplas parceras.

Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos plátano power al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k}$ que puede insertarse entre los dos números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal forma que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determinar el valor de $p(2025)$.

Nota: la línea superior indica que los elementos que aparecen debajo de ella son los dígitos en el sistema decimal del número así representado.

Encontrar todos los enteros positivos $p,q,r$, con $p$ y $q$ números primos, que satisfacen la igualdad \[\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}-\frac{1}{(p+1)(q+1)}=\frac{1}{r}.\]

Aplicar un desliz a un entero $n\geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y reemplazar $n$ por $\frac{n+p^2}{p}$. Se comienza con un entero mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demostrar que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se vuelve a obtener el número $5$.