Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un entero de la forma $a^2 + b^2$, donde $a$ y $b$ son enteros primos relativos, y tales que si $p$ es un primo con $p \leq \sqrt{n}$, entonces $p$ divide a $ab$. Determinar todos los enteros $n$ que satisfacen estas condiciones.

Durante un recreo, hay $n$ niños que se sientan en círculo alrededor de su profesora para jugar a un juego. La profesora camina alrededor de los niños en sentido horario y reparte caramelos a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla. En primer lugar, selecciona un niño y le da un caramelo, luego se salta un niño y le da otro caramelo al siguiente, luego se salta dos niños y le da un caramelo al siguiente, luego se salta tres y así sucesivamente. Determinar los valores de $n$ para los que llega un momento (posiblemente después de varias vueltas) en el que todos los niños tienen al menos un caramelo.

Encontrar dos enteros distintos $m$ y $n$ tales que $mn+n$ y $mn+m$ sean ambos cuadrados. ¿Se pueden encontrar tales enteros entre $988$ y $1991$?

Encuentra todos los enteros $a, b, c, d$ tales que $$ab - 2cd = 3, \qquad ac + bd = 1.$$

Determinar para qué enteros positivos $n$ el número $$3^{2n+1} - 2^{2n+1} - 6^n$$ es compuesto.