Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $4ab-1$ divide a $(4a^2-1)^2$. Demostrar que $a=b$.

Hallar todas las parejas de enteros $(x,y)$ tales que \[1+2^x+2^{2x+1}=y^2.\]

Consideremos la sucesión infinita definida por $a_n=2^n+3^n+6^n-1$ para todo entero $n\geq 1$. Determinar todos los enteros positivos que son primos relativos con todos los términos de la sucesión.

Un entero positivo es alternante si en su representación decimal cada par de dígitos consecutivos tienen distinta paridad. Encontrar todos los enteros positivos que tienen un múltiplo que es alternante.

Sea $p$ un número primo. Demostrar que existe un número primo $q$ tal que, para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es divisible por $q$.