Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $n$ y $m$ enteros positivos de distinta paridad con $n\gt m$. Encontrar todos los enteros $x$ tales que \[\frac{x^{2^n}-1}{x^{2^m}-1}\] es un cuadrado perfecto.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para toda pareja de enteros positivos $(x,y)$ se cumplen las siguientes dos condiciones:

• $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos,
• si $x$ no divide a $y$ e $y$ no divide a $x$, entonces \[\mathrm{mcd}(f(x), f(y))\gt f(\mathrm{mcd}(x,y)).\]

Para una sucesión $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ de enteros, decimos que una pareja $(a_i, a_j)$ con $1\leq i\lt j\leq n$ es interesante si existe una pareja $(a_k, a_\ell)$ de enteros con $1\leq k\lt\ell\leq n$ tal que \[\frac{a_{\ell}-a_k}{a_j-a_i}=2.\] Para cada $n\geq 3$, encontrar el mayor número posible de parejas interesantes en una sucesión de longitud $n$.

Decimos que un entero positivo $n$ es peculiar si, para cualquier divisor positivo $d$ de $n$, el entero $d(d+1)$ divide a $n(n+1)$. Demostrar que, para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A$, $B$, $C$ y $D$, se cumple que \[\mathrm{mcd}(A, B, C, D) = 1.\]

Dos enteros distintos $u$ y $v$ están escritos en la pizarra. Realizamos una serie de pasos. En cada paso hacemos una de las siguientes acciones:

• Si $a$ y $b$ son enteros distintos en la pizarra, entonces podemos escribir $a+b$ en la pizarra, si no está ya escrito.
• Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros distintos en la pizarra y $x$ es un entero que satisface $ax^2 +bx+c = 0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya escrito.

Determinar todas las parejas iniciales de números $(u,v)$ para las cuales cualquier entero se puede escribir en la pizarra después de un número finito de pasos.