Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos enteros distintos $u$ y $v$ están escritos en la pizarra. Realizamos una serie de pasos. En cada paso hacemos una de las siguientes acciones:

• Si $a$ y $b$ son enteros distintos en la pizarra, entonces podemos escribir $a+b$ en la pizarra, si no está ya escrito.
• Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros distintos en la pizarra y $x$ es un entero que satisface $ax^2 +bx+c = 0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya escrito.

Determinar todas las parejas iniciales de números $(u,v)$ para las cuales cualquier entero se puede escribir en la pizarra después de un número finito de pasos.

Sea $s\geq 2$ un entero positivo. Para cada entero positivo $k$ se define su torcimiento $k'$ como sigue: si $k$ se escribe como $as+b$, con $a,b$ enteros no negativos y con $b\lt s$, entonces $k′ = bs+a$.

Sea $n$ un entero positivo y consideremos la sucesión infinita $d_1, d_2,\ldots$ con $d_1=n$ y $d_{i+1}$ el torcimiento de $d_i$ para cada $i$ entero positivo. Demostrar que esta sucesión contiene $1$ si y sólo si el resto de la división de $n$ por $s^2-1$ es $1$ o $s$.

Se dice que una sucesión infinita de enteros positivos $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es húngara si cumple las siguientes dos condiciones:

• $a_1$ es un cuadrado perfecto;
• para todo entero $n\geq 2$, $a_n$ es el menor entero positivo tal que \[na_1 +(n-1)a_2 +\ldots+2a_{n−1}+a_n\] es un cuadrado perfecto.

Probar que si $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es una sucesión húngara, entonces existe un entero positivo $k$ tal que $a_n=a_k$ para todo entero $n\geq k$.

Determinar si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor=n^2+a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m,n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos.

Nota. La expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera del número real $x$.

El número $2021$ es fantabuloso. Si para algún entero positivo $m$, alguno de los elementos del conjunto ${m,2m+1,3m}$ es fantabuloso, entonces todos los elementos de dicho conjunto son fantabulosos. ¿Esto implica que el número $2021^2021$ es fantabuloso?