Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un entero positivo es divertido si para todo $d$ divisor positivo de $n$, $d+2$ es un número primo. Encontrar todos los números divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.

Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman $74$. Comprobar que $2014$ es tico. ¿Cuál es el próximo año tico? ¿cuál será el último año tico de la historia?

Determinar todas las ternas $(p,q,r)$ de enteros positivos, donde $p$ y $q$ son números primos, tales que: \[\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2.\]

Una terna ordenada de números primos $(p,q,r)$ es parcera si cumple que $p$ divide a $q^2-4$, $q$ divide a $r^2-4$ y $r$ divide a $p^2-4$. Encontrar todas las triplas parceras.

Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos plátano power al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k}$ que puede insertarse entre los dos números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal forma que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determinar el valor de $p(2025)$.

Nota: la línea superior indica que los elementos que aparecen debajo de ella son los dígitos en el sistema decimal del número así representado.