Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $s\geq 2$ un entero positivo. Para cada entero positivo $k$ se define su torcimiento $k'$ como sigue: si $k$ se escribe como $as+b$, con $a,b$ enteros no negativos y con $b\lt s$, entonces $k′ = bs+a$.

Sea $n$ un entero positivo y consideremos la sucesión infinita $d_1, d_2,\ldots$ con $d_1=n$ y $d_{i+1}$ el torcimiento de $d_i$ para cada $i$ entero positivo. Demostrar que esta sucesión contiene $1$ si y sólo si el resto de la división de $n$ por $s^2-1$ es $1$ o $s$.

Se dice que una sucesión infinita de enteros positivos $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es húngara si cumple las siguientes dos condiciones:

• $a_1$ es un cuadrado perfecto;
• para todo entero $n\geq 2$, $a_n$ es el menor entero positivo tal que \[na_1 +(n-1)a_2 +\ldots+2a_{n−1}+a_n\] es un cuadrado perfecto.

Probar que si $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es una sucesión húngara, entonces existe un entero positivo $k$ tal que $a_n=a_k$ para todo entero $n\geq k$.

Determinar si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor=n^2+a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m,n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos.

Nota. La expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera del número real $x$.

El número $2021$ es fantabuloso. Si para algún entero positivo $m$, alguno de los elementos del conjunto ${m,2m+1,3m}$ es fantabuloso, entonces todos los elementos de dicho conjunto son fantabulosos. ¿Esto implica que el número $2021^2021$ es fantabuloso?

Sea $m\gt 1$ un entero. Se define una sucesión $\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}$ como $a_1=a_2=1$, $a_3=4$ y, para todo $n\geq 4$, \[a_n = m(a_{n−1} + a_{n−2}) − a_{n−3}.\] Determinar todos los enteros $m$ para los que todos los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.