Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Probar que existe un conjunto $A$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier conjunto infinito de primos $S$ hay dos enteros positivos, $m\in A$ y $n\not\in A$, cada uno de los cuales es el producto de $k$ elementos distintos de $S$ para algún $k\geq 2$.

Hallar todos los pares ordenados $(m,n)$ de enteros positivos tales que \[\frac{n^3+1}{mn-1}\] es un número entero.

Para cada entero positivo $n$, definimos $S(n)$ como el mayor entero tal que $n^2$ se puede escribir como la suma de $k$ cuadrados perfectos no nulos para todo entero $1\leq k\leq S(n)$.

1. Demostrar que $S(n)\leq n^2-14$.
2. Encontrar un entero $n$ tal que $S(n)=n^2-14$.
3. Demostrar que hay infinitos enteros $n$ tales que $S(n)=n^2-14$.

Encontrar todos los enteros $a,b,c$ con $1\lt a\lt b\lt c$ tales que \[(a-1)(b-1)(c-1)\text{ es un divisor de }abc-1.\]

Sea $n\gt 6$ un entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_k$ todos los números menores que $n$ y primos relativos con $n$. Si se cumple que \[a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_k-a_{k-1}\gt 0,\] demostrar que $n$ es un número primo o bien una potencia de $2$.