Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a_0, a_1, a_2,\ldots, a_{3030}$ enteros positivos tales que \[2a_{n+2}=a_{n+1}+4a_n,\qquad\text{para todo }n=0,1,2,\ldots,3028.\] Demostrar que al menos uno de los enteros $a_0, a_1, a_2, . . . , a_{3030}$ es divisible por $2^{2020}$.

Sea $n\geq 2$ un número entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ enteros positivos. Demostrar que existen enteros positivos $b_1, b_2,\ldots,b_n$ que cumplen las siguientes tres condiciones:

• $a_i\leq b_i$ para todo $1\leq i\leq n$,
• los restos de $b_1, b_2,\ldots, b_n$ al dividirlos por $n$ son todos diferentes y
• $\displaystyle b_1+b_2+\ldots+b_n\leq \left(\frac{n-1}{2}+\left\lfloor\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right\rfloor\right)$.


Nota. Denotamos por $\lfloor x\rfloor$ a la parte entera del número real $x$, es decir, al mayor entero que es menor o igual que $x$.

Consideremos el conjunto \[A =\left\{1+\tfrac{1}{k}|k=1,2,3,\ldots\right\}.\]

1. Demostrar que todo entero $x\geq 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos.
2. Para todo entero $x\geq 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de A, no necesariamente distintos. Demostrar que existen infinitos pares $(x,y)$ de enteros con $x\geq 2$ e $y\geq 2$, tales que \[f(xy)\lt f(x) + f(y).\]

Sea $n\geq 2$ un entero. Una $n$-upla $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ de enteros positivos no necesariamente distintos se dice que es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que \[(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k−1}.\]

1. Encontrar todos los enteros $n\geq 2$ para los cuales existe una $n$-upla costosa.
2. Demostrar que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n\geq 2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-upla costosa.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $n^4$ tiene un divisor en el conjunto $\{n^2+1,n^2+2,\ldots,n^2+2n\}$. Demostrar que hay infinitos elementos en $S$ de cada una de las formas $7m$, $7m+1$, $7m+2$, $7m+5$ y $7m+6$, pero $S$ no contiene elementos de la forma $7m+3$ y $7m+4$, siendo $m$ un entero.