Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $M$ el punto medio del lado $CD$. El punto $X$ está sobre la mediana $BM$ del triángulo $BDC$ y el punto $Y$ está sobre la mediana $AM$ del triángulo $CDA$. Además, por ser los baricentros, sabemos que $AY=2\cdot YM$ y $BX=2\cdot XM$, con lo que los triángulos $AMB$ e $YMX$ son semejantes con razón de semejanza $\frac{1}{3}$. Como están en posición de Thales, se deduce que el segmento $XY$ es paralelo a $AB$ y tiene longitud $\frac{1}{3}$ de la longitud de $AB$. Repitiendo este mismo argumento, tenemos que $YZ,ZW,WX$ son paralelos a los lados $BC,CD,DA$, respectivamente, y tienen $\frac{1}{3}$ de la longitud de dichos lados. Por lo tanto, los cuadriláteros $ABCD$ y $XYZW$ son semejantes con razón de semejanza $\frac{1}{3}$ y de aquí deducimos que el área de $XYZW$ es $\frac{1}{9}$.

Solución. Trabajando en coordenadas cartesianas, los baricentros vienen dados por \[X=\tfrac{B+C+D}{3},\qquad Y=\tfrac{C+D+A}{3},\qquad Z=\tfrac{D+A+B}{3},\qquad W=\tfrac{A+B+C}{3},\] de donde deducimos que \[\overrightarrow{XY}=Y-X=\tfrac{C+D+A}{3}-\tfrac{B+C+D}{3}=\tfrac{A-B}{3}=\tfrac{-1}{3}\cdot\overrightarrow{AB}.\] De forma similar, tenemos que \[\overrightarrow{YZ}=\tfrac{-1}{3}\cdot\overrightarrow{BC},\qquad\overrightarrow{ZW}=\tfrac{-1}{3}\cdot\overrightarrow{CD},\qquad\overrightarrow{WX}=\tfrac{-1}{3}\cdot\overrightarrow{DA}.\] Esto nos dice que los lados de $XYZW$ son paralelos a los de $ABCD$ y están en razón $\frac{1}{3}$ a los de este, luego ambos cuadriláteros son semejantes con razón de semejanza $\frac{1}{3}$. Por lo tanto, el área de $XYZW$ es $\frac{1}{9}$.

Solución. Consideremos la circunferencia $\Gamma$ de centro $A$ de radio $1$ (que pasa por $B$ y $D$). El segmento $BD$ tiene un ángulo central de $100^\circ$, luego un ángulo inscrito en $\Gamma$ cuyos extremos $B$ y $D$ tiene ángulo $50^\circ$ o $130^\circ$, dependiendo si está en el arco menor $BD$ o en el arco mayor. Como $\angle BCD=130^\circ$, se deduce así que $C$ está en el arco menor $BD$ y en particular en $\Gamma$. Por lo tanto, $AC=1$.