Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ las dos circunferencias que pasan por $A$ y son tangentes tanto a la recta $BC$ como a $\Gamma$. La recta $BC$ es tangente a $\omega_1$ en $D_1$ y a $\omega_2$ en $D_2$. Las rectas $AD_1$ y $AD_2$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en $P_1$ y $P_2$, respectivamente. Probar que $P_1P_2$ es perpendicular a $BC$.

El triángulo ABC es acutángulo. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. El punto $X$ en el lado $AB$ es tal que $DX$ es perpendicular a $AB$ y el punto $Y$ en el lado $AC$ es tal que $DY$ es perpendicular a $AC$. La paralela a $XY$ por $F$ corta a la recta $DY$ en $P$. Demostrar que los ángulos $\angle ADX$ y $\angle DEP$ son suplementarios.

En el triángulo $\Delta OFE$, el ángulo $\angle OFE$ es agudo. Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasando por $F$ es tangente al lado $OE$ en el punto $E$. Sea $M$ el punto medio del lado $OE$, y sea $P$ el punto en el que la recta $FM$ vuelve a cortar a la circunferencia $\Gamma$. Por último, sea $Q$ el punto en el que la recta $OP$ corta de nuevo a $\Gamma$. Demostrar que los ángulos $\angle OFE$ y $\angle EFQ$ son iguales.

En el triángulo escaleno $ABC$, la circunferencia inscrita $\omega$ es tangente a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$, respectivamente. Sea $G$ el punto de la recta $EF$ tal que $AG$ es paralela a $BC$. Probar que el ortocentro del triángulo $ADG$ está sobre la circunferencia $\omega$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt BC$. La mediatriz de $AC$ corta a $BC$ en $D$. La circunferencia que pasa por $A$, $C$ y $D$ contiene un punto $E\neq D$ tal que $DE$ es paralela a $AB$. Probar que \[AE^2+BC^2=BE^2.\]