Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Se eligen los puntos $K$ y $L$ estrictamente en el interior de los triángulos $BMC$ y $BNC$, respectivamente, de tal manera que $K$ está estrictamente en el interior del triángulo $ABL$ y $L$ está estrictamente en el interior del triángulo $AKC$. Supongamos también que \[ \angle KBA = \angle ACL, \quad \angle LBK = \angle LNC \quad \text{y} \quad \angle LCK = \angle BMK. \] Sea $O$ el circuncentro del triángulo $AKL$. Probar que $OM = ON$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB$. Sea $\omega$ su circunferencia circunscrita y sea $O$ su circuncentro. Sea $K$ la intersección de las tangentes a $\omega$ en $B$ y $C$. La circunferencia circunscrita de $ABK$ corta a la recta $BC$ nuevamente en $Z \neq B$. Sea $L$ el punto medio de $KZ$. Sea $X$ la intersección de las rectas $KZ$ y $AB$. Sea $V$ el punto en la circunferencia circunscrita de $ABL$ que está en el mismo lado que $A$, respecto de $BC$, tal que $OV$ es perpendicular a $KZ$.

Probar que $LV$ es perpendicular a $CX$.

Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ las dos circunferencias que pasan por $A$ y son tangentes tanto a la recta $BC$ como a $\Gamma$. La recta $BC$ es tangente a $\omega_1$ en $D_1$ y a $\omega_2$ en $D_2$. Las rectas $AD_1$ y $AD_2$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en $P_1$ y $P_2$, respectivamente. Probar que $P_1P_2$ es perpendicular a $BC$.

El triángulo ABC es acutángulo. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. El punto $X$ en el lado $AB$ es tal que $DX$ es perpendicular a $AB$ y el punto $Y$ en el lado $AC$ es tal que $DY$ es perpendicular a $AC$. La paralela a $XY$ por $F$ corta a la recta $DY$ en $P$. Demostrar que los ángulos $\angle ADX$ y $\angle DEP$ son suplementarios.

En el triángulo $\Delta OFE$, el ángulo $\angle OFE$ es agudo. Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasando por $F$ es tangente al lado $OE$ en el punto $E$. Sea $M$ el punto medio del lado $OE$, y sea $P$ el punto en el que la recta $FM$ vuelve a cortar a la circunferencia $\Gamma$. Por último, sea $Q$ el punto en el que la recta $OP$ corta de nuevo a $\Gamma$. Demostrar que los ángulos $\angle OFE$ y $\angle EFQ$ son iguales.