Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo que no es isósceles ni rectángulo. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$ y $A_1,B_1,C_1$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. El punto $A_2$ se encuentra en la semirrecta $OA_1$ de forma que los triángulos $OAA_1$ y $OA_2A$ son semejantes; de la misma forma, se definen los puntos $B_2$ y $C_2$ en las semirrectas $OB_1$ y $OC_1$, respectivamente. Demostrar que las rectas $AA_2,BB_2,CC_2$ son concurrentes.

Un hexágono convexo $ABCDEF$ está inscrito en una circunferencia y cumple que $AB=CD=EF$ y que las diagonales $AD,BE,CF$ son concurrentes. Sea $P$ la intersección de $AD$ y $CE$. Demostrar que \[\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan de forma perpendicular en el punto $E$. Demostrar que los puntos simétricos de $E$ respecto de los lados $AB,BC,CD,DA$ son concíclicos.

Se tienen cuerdas $AA',BB',CC'$ de una esfera que se cortan en un punto interior $P$ pero no están en un mismo plano. La esfera que pasa por $A,B,C,P$ es tangente a la esfera original en $A',B',C',P$. Demostrar que $AA'=BB'=CC'$.

Sea $D$ un punto arbitrario del lado $AB$ de un triángulo $ABC$ y sea $E$ el punto interior del triángulo en el que $CD$ corta a la tangente exterior común a las circunferencias inscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$. Demostrar que al mover $D$ en el segmento $AB$, el punto $E$ describe un arco de circunferencia.