Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle CAB\gt \angle ABC$ y sea $I$ su incentro. Sea $D$ el punto en el segmento $BC$ tal que $\angle CAD = \angle ABC$. Sea $\omega$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $AC$ en el punto $A$. Sea $X$ el segundo punto de intersección de $\omega$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Muestre que las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle CXB$ se intersecan en un punto de la recta $BC$.

Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo $ABC$. Una circunferencia $\Omega$ es tangente al segmento $AB$ y también a $\Gamma$ en un punto situado al mismo lado de la recta $AB$ que $C$. La bisectriz del ángulo $\angle BCA$ interseca a $\Omega$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Demostrar que $\angle ABP = \angle QBC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $CA=CB$ y $\angle ACB=120^\circ$ y sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto variable de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. Sea $Q$ el punto en el segmento $CP$ tal que $QP=2\cdot QC$. Se sabe que la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a la recta $AB$ interseca a la recta $MQ$ en un único punto $N$. Demostrar que existe una circunferencia fija tal que $N$ se encuentra en dicha circunferencia para todas las posibles posiciones de $P$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo que no tiene dos lados con la misma longitud. Las reflexiones del baricentro $G$ y el circuncentro $O$ de $ABC$ con respecto a los lados $BC,CA,AB$ se denotan como $G_1,G_2,G_3$ y $O_1,O_2, O_3$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $G_1G_2C$, $G_1G_3B$, $G_2G_3A$, $O_1O_2C$, $O_1O_3B$, $O_2O_3A$ y $ABC$ tienen un punto en común.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que cumple que $\angle DAB=\angle BCD=90^\circ$ y $\angle ABC\gt \angle CDA$. Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD$, respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S$, respectivamente. Se sabe que $PQ=RS$. Sea $M$ el punto medio de $BD$ y sea $N$ el punto medio de $QR$. Demostrar que los puntos $M$, $N$, $A$ y $C$ están en una misma circunferencia.