Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Los pies de las bisectrices de un triángulo $ABC$ son los vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en $X$, el pie de la bisectriz del ángulo $A$. Encontrar todos los valores posibles del ángulo $A$.

Se consideran dos circunferencias distintas $K_1$ y $K_2$ en el plano que se cortan en los puntos $A$ y $B$, siendo $AB$ un diámetro de $K_1$, y un punto $P$ de $K_2$ que queda en el interior de $K_1$. Construir, usando únicamente una escuadra, dos puntos $C$ y $D$ en $K_1$ tales que $CD$ es perpendicular a $AB$ y $\angle CPD$ es recto.

Nota. Aquí se entiende que una escuadra permite únicamente trazar una recta uniendo dos puntos y la perpendicular a una recta que pasa por un punto.

Sean $P,A,B,C,D$ cinco puntos distintos en el espacios tales que \[\angle APB=\angle BPC=\angle CPD=\angle DPA=\theta,\] donde $\theta$ es un ángulo agudo dado. Determinar el mayor y menor valor posible de $\angle APC+\angle BPD$ en función de $\theta$.

Se tienen seis segmentos $S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6$ en el plano, que son congruentes a las aristas $AB,AC,AD,BC,BD,CD$, respectivamente, de un tetraedro $ABCD$. Construir con regla y compás un segmento congruente con la altura del tetraedro que parte del vértice $A$.

Sean $A,B;C$ puntos en el interior de una esfera $S$ tales que $AB$ y $AC$ son perpendiculares al diámetro de $S$ que pasa por $A$ y de forma que se pueden construir dos esferas que pasan por $A$, $B$ y $C$ que son ambas tangentes a $S$. Demostrar que la suma de los radios de estas dos esferas es igual al radio de $S$.