Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y sea $\omega$ la circunferencia tangente a los lados $AB$ y $BC$ que además es tangente internamente a $\Omega$ en un punto $P$. Una recta paralela a $AB$ que corta el interior del triángulo $ABC$ es tangente a $\omega$ en el punto $Q$. Demostrar que $\angle ACP=\angle QCB$.

Extendemos el lado $BC$ del triángulo $ABC$ hasta un punto $D$ más allá de $C$ de forma que $CD=BC$. El lado $CA$ se extiende también más allá de $A$ hasta un punto $E$ tal que $AE=2CA$. Demostrar que si $AD=BE$, entonces el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. La circunferencia inscrita (o incírculo) $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $EF$ corta a $\omega$ nuevamente en $R$. La recta $AR$ corta a $\omega$ nuevamente en $P$. Las circunferencias circunscritas (o circuncírculos) de los triángulos $PCE$ y $PBF$ se cortan nuevamente en $Q$. Demostrar que las rectas $DI$ y $PQ$ se cortan en la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AI$.

En el triángulo $ABC$, el punto $A_1$ está en el lado $BC$ y el punto $B_1$ está en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$ distinto de $B_1$, con $B_1$ entre $P$ y $P_1$, y $\angle PP_1C = \angle BAC$. Análogamente, sea $Q_1$ un punto en la recta $QA_1$ distinto de $A_1$, con $A_1$ entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q = \angle CBA$. Demostrar que los puntos $P, Q, P_1, Q_1$ son concíclicos.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB\cdot CD=BC\cdot DA$. El punto $X$ en el interior de $ABCD$ es tal que \[\angle XAB = \angle XCD\qquad \text{y}\qquad \angle XBC = \angle XDA.\] Demostrar que $\angle BXA + \angle DXC = 180^\circ$.