Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A,B;C$ puntos en el interior de una esfera $S$ tales que $AB$ y $AC$ son perpendiculares al diámetro de $S$ que pasa por $A$ y de forma que se pueden construir dos esferas que pasan por $A$, $B$ y $C$ que son ambas tangentes a $S$. Demostrar que la suma de los radios de estas dos esferas es igual al radio de $S$.

Sea $A_1$ un punto en el interior de un triángulo equilátero $ABC$ y $A_2$ un punto en el interior del triángulo $A_1BC$. Demostrar que \[\mathrm{I.Q.}(A_1BC)\gt \mathrm{I.Q.}(A_2BC),\] donde $\mathrm{I.Q.}(F)=\mathrm{Área}(F)/\mathrm{Perímetro}(F)^2$ representa el cociente isoperimétrico de una figura $F$.

Un polígono convexo tiene $n$ lados. Cada uno de sus vértices está unido por un segmento a un punto $P$ que no está en el mismo plano que el polígono. Si $A,B,C$ son vértices adyacentes del polígono, consideremos el ángulo que forman los planos $PAB$ y $PBC$. Si la suma de los $n$ ángulos obtenidos de esta forma coincide con la suma de los $n$ ángulos interiores del polígono, demostrar que $n=3$.

Demostrar que si $n$ no es un múltiplo de $3$, entonces el ángulo $\frac{\pi}{n}$ puede trisecarse mediante regla y compás.

Si un tetraedro admite una esfera inscrita que es tangente a cada una de sus caras en su circuncentro, demostrar que el tetraedro es regular.