Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Una circunferencia $\Gamma$ de centro $A$ corta al segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ tales que $B,D,E,C$ son todos diferentes y están en la recta $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$ tales que $A,F,B,C,G$ están sobre $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Supongamos que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demostrar que $X$ está en la recta $AO$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\gt AC$. Sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sea $Q$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HQA=90^\circ$ y sea $K$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HKQ=90^\circ$. Supongamos que los puntos $A$, $B$, $C$, $K$ y $Q$ son todos distintos y están sobre $\Gamma$ en ese orden. Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo $KQH$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $FKM$.

Los puntos $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ de modo que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$. Los puntos $M$ y $N$ están en las rectas $AP$ y $AQ$, respectivamente, de modo que $P$ es el punto medio de $AM$, y $Q$ es el punto medio de $AN$. Demostrar que las rectas $BM$ y $CN$ se cortan en un punto de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ$. La perpendicular a $BD$ desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y son tales que $H$ está dentro del triángulo $SCT$ y \[\angle CHS-\angle CSB=90^\circ,\qquad \angle THC-\angle DTC=90^\circ.\] Demostrar que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$.

Sea $AB$C un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $W$ un punto sobre el lado $BC$, estrictamente entre $B$ y $C$. Los puntos $M$ y $N$ son los pies de las alturas trazadas desde $B$ y $C$, respectivamente. Se denota por $\omega_1$ la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BWN$ y por el punto $X$ de $\omega_1$ tal que $WX$ es un diámetro de $\omega_1$. Análogamente, se denota por $\omega_2$ la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $CWM$, y por $Y$ el punto de $\omega_2$ tal que $WY$ es un diámetro de $\omega_2$. Demostrar que los puntos $X$, $Y$ y $H$ están alineados.