Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sean $E$ un punto en el arco de $\Gamma$ de extremos $BC$ y que contiene a $D$ y $F$ un punto en el lado $BC$ de forma que \[\angle BAF=\angle CAE\lt \tfrac{1}{2}\angle BAC.\] Sea $G$ el punto medio del segmento $IF$. Demostrar que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ cortan a los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que $\angle BEK = 45^\circ$. Determinar todos los posibles valores de $\angle CAB$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Sean $P$ y $Q$ puntos interiores de los lados $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $K$, $L$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $BP$, $CQ$ y $PQ$, respectivamente, y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $K$, $L$ y $M$. Se sabe que la recta $PQ$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$. Demostrar que $OP = OQ$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que las longitudes de los lados $BA$ y $BC$ son diferentes. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ las circunferencias inscritas dentro de los triángulos $ABC$ y $ADC$, respectivamente. Se supone que existe una circunferencia $\omega$ tangente a la prolongación del segmento $BA$ a continuación de $A$ y tangente a la prolongación del segmento $BC$ a continuación de $C$, la cual también es tangente a las rectas $AD$ y $CD$. Demostrar que el punto de intersección de las tangentes comunes exteriores de $\omega_1$ y $\omega_2$ está sobre $\omega$.

Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene ortocentro $H$. La circunferencia con centro en el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ corta a la recta $BC$ en $A_1$ y $A_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $CA$ que pasa por $H$ corta a la recta $CA$ en $B_1$ y $B_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $AB$ que pasa por $H$ corta a la recta $AB$ en $C_1$ y $C_2$. Demostrar que $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$ y $C_2$ están sobre una misma circunferencia.