Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Sean $P$ y $Q$ puntos interiores de los lados $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $K$, $L$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $BP$, $CQ$ y $PQ$, respectivamente, y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $K$, $L$ y $M$. Se sabe que la recta $PQ$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$. Demostrar que $OP = OQ$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que las longitudes de los lados $BA$ y $BC$ son diferentes. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ las circunferencias inscritas dentro de los triángulos $ABC$ y $ADC$, respectivamente. Se supone que existe una circunferencia $\omega$ tangente a la prolongación del segmento $BA$ a continuación de $A$ y tangente a la prolongación del segmento $BC$ a continuación de $C$, la cual también es tangente a las rectas $AD$ y $CD$. Demostrar que el punto de intersección de las tangentes comunes exteriores de $\omega_1$ y $\omega_2$ está sobre $\omega$.

Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene ortocentro $H$. La circunferencia con centro en el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ corta a la recta $BC$ en $A_1$ y $A_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $CA$ que pasa por $H$ corta a la recta $CA$ en $B_1$ y $B_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $AB$ que pasa por $H$ corta a la recta $AB$ en $C_1$ y $C_2$. Demostrar que $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$ y $C_2$ están sobre una misma circunferencia.

En un triángulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $\angle BCA$ corta a la circunferencia circunscrita en un punto $R$ ($R\neq C$), a la mediatriz de $BC$ en $P$ y a la mediatriz de $AC$ en $Q$. El punto medio de $BC$ es $K$ y el punto medio de $AC$ es $L$. Demostrar que los triángulos $RPK$ y $RQL$ tienen áreas iguales.

Se consideran cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es un cuadrilátero cíclico y convexo. Sea $\ell$ una recta que pasa por $A$. Supongamos que $\ell$ corta al segmento $DC$ en un punto interior $F$ y a la recta $BC$ en $G$. Supongamos también que $EF=EG= EC$. Demostrar que $\ell$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAB$.