Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el centro de su circunferencia inscrita. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo tal que \[\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB.\] Demostrar que $AP\geq AI$ y la igualdad se alcanza si y solo si $P=I$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que tiene los lados $BC$ y $AD$ iguales y no paralelos. Sean $E$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $AD$, respectivamente, que satisfacen $BE=DF$. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $P$, las rectas $BD$ y $EF$ se cortan en $Q$ y las rectas $EF$ y $AC$ se cortan en $R$. Consideremos todos los triángulos $PQR$ que se forman cuando $E$ y $F$ varían. Demuestre que las circunferencias circunscritas a esos triángulos tienen en común otro punto además de $P$.

Se eligen seis puntos en los lados de un triángulo equilátero $ABC$: $A_1$ y $A_2$ en $BC$, $B_1$ y $B_2$ en $CA$ y $C_1$ y $C_2$ en $AB$. Estos puntos son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ cuyos lados son todos iguales. Demostrar que las rectas $A_1B_2$, $B_1C_2$ y $C_1A_2$ son concurrentes.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no es la bisectriz ni del ángulo $\angle ABC$ ni del ángulo $\angle CDA$. Un punto $P$ en el interior de $ABCD$ verifica que $\angle PBC=\angle DBA$ y $\angle PDC=\angle BDA$. Demostrar que los vértices del cuadrilátero $ABCD$ pertenecen a una misma circunferencia si y solo si $AP=CP$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. La circunferencia de diámetro $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio de $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se cortan en $R$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto común que pertenece al lado $BC$.