Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC,CDE,EFG$ triángulos equiláteros de forma que los vértices están etiquetados en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si $A,D,G$ están alineados y $AD=DG$, demostrar que $BFD$ es un triángulo equilátero.

Sea $AB$ un diámetro de una circunferencia $C$ y sean $M$ y $N$ dos puntos cualesquiera sobre $C$. Se consideran cuerda s $MA'$ y $MB'$ perpendiculares a $NA$ y $NB$, respectivamente. Demostrar que $AA'$ y $BB'$ son paralelas.

Un tablero de ajedrez de lado $1$ se coloca encima de otro tablero idéntico que está rotado $45^\circ$ respecto de su centro común. Determinar el área que está pintada de negro en ambos tableros.

Sea $ABCD$ un tetraedro tal que $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$. Si $k$ es el ángulo que forman las rectas $AC$ y $BD$, demostrar que \[\cos(k)\lt\frac{CD}{AB}.\]

Una caja con forma de ortoedro tiene aristas $x\lt y\lt z$. Su perímetro es $p=4(x+y+z)$, su superficie es $s=2(xy+yz+zx)$ y su diagonal principal tiene longitud $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Demostrar que \[3x\lt \frac{p}{4}-\sqrt{d^2-\frac{s}{2}}\lt 3z.\]