Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no es la bisectriz ni del ángulo $\angle ABC$ ni del ángulo $\angle CDA$. Un punto $P$ en el interior de $ABCD$ verifica que $\angle PBC=\angle DBA$ y $\angle PDC=\angle BDA$. Demostrar que los vértices del cuadrilátero $ABCD$ pertenecen a una misma circunferencia si y solo si $AP=CP$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. La circunferencia de diámetro $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio de $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se cortan en $R$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto común que pertenece al lado $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices están sobre una circunferencia. Sean $P$, $Q$ y $R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demostrar que $PQ=QR$ si y solo si las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se cortan sobre la recta $AC$.

Consideremos un hexágono convexo tal que para cualesquiera dos lados opuestos se verifica la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\sqrt{3}/2$ multiplicado por la suma de sus longitudes. Demostrar que todos los ángulos del hexágono son iguales.

Se dibujan en el plano $n\gt 2$ circunferencias de radio $1$ tales que no hay ninguna recta que corte a más de dos de ellas. Si $O_1,O_2,\ldots,O_n$ son los centros de las circunferencias, demostrar que \[\sum_{i\lt j}\frac{1}{O_iO_j}\leq\frac{(n-1)\pi}{4}.\]