Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un tetraedro tal que $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$. Si $k$ es el ángulo que forman las rectas $AC$ y $BD$, demostrar que \[\cos(k)\lt\frac{CD}{AB}.\]

Una caja con forma de ortoedro tiene aristas $x\lt y\lt z$. Su perímetro es $p=4(x+y+z)$, su superficie es $s=2(xy+yz+zx)$ y su diagonal principal tiene longitud $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Demostrar que \[3x\lt \frac{p}{4}-\sqrt{d^2-\frac{s}{2}}\lt 3z.\]

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Una recta paralela a $AC$ corta a $AB$ en $M$ y a $BC$ en $P$. Sean $D$ el centro del triángulo equilátero $BMP$ y $E$ el punto medio de $AP$. Encontrar los ángulos del triángulo $DEC$.

Dado un punto $P$ en un diámetro $AB$ de una circunferencia $\Gamma$, hallar la cuerda $CD$ que pasa por $P$ y que maximiza el área del cuadrilátero $ABCD$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $BC$ y $CD$, respectivamente. Probar que \[\mathrm{Área}(ABCD)\lt\frac{(AM+AN)^2}{2}.\]