Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Supongamos que $BC$ es un diámetro de una circunferencia con centro $O$ y que $A$ es un punto de la circunferencia tal que $\angle AOC\gt 60^\circ$. Sean $EF$ la cuerda de la circunferencia que es mediatriz de $AO$ y $D$ el punto medio del arco menor $AB$. Si la recta paralela a $AD$ que pasa por $O$ corta a $AC$ en $J$, probar que $J$ es el incentro del triángulo $CEF$.

En un triángulo $ABC$, supongamos que $AP$ y $BQ$ son las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle ABC$, respectivamente, siendo $P$ un punto del lado $BC$ y $Q$ un punto del lado $CA$. Supongamos que $\angle BAC=60^\circ$ y que $AB+BP=AQ+QB$. ¿Cuáles son los posibles valores de los ángulos del triángulo $ABC$?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $P$ el pie de la altura desde $A$. Supongamos que $\angle BCA\geq\angle ABC+30^\circ$. Demostrar que \[\angle CAB+\angle COP\lt 90^\circ.\]

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo acutángulo. El pie de la altura desde $A_i$ se denota por $K_i$ y el punto de tangencia del círculo inscrito en el lado opuesto a $A_i$ por $L_i$. La recta $K_1K_2$ se refleja respecto de la recta $L_1L_2$ y, de forma análoga, $K_2K_3$ se refleja respecto de $L_2L_3$ y $K_3K_1$ se refleja respecto de $L_3L_1$. Probar que las nuevas rectas así obtenidas forman un triángulo con vértices en la circunferencia inscrita de $A_1A_2A_3$.

Sean $CAMN$ y $NMDB$ cuadriláteros cíclicos y supongamos que $AB$ es una tangente común a sus circunferencias circunscritas, siendo $M$ un punto interior del segmento $CD$ y $CD$ paralela a $AB$. Las cuerdas $NA$ y $CM$ se cortean $P$ y las cuerdas $NB$ y $MD$ se cortan en $Q$. Si las rectas $CA$ y $BD$ se cortan en $E$, demostrar que $PE=QE$.