Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $P$ el pie de la altura desde $A$. Supongamos que $\angle BCA\geq\angle ABC+30^\circ$. Demostrar que \[\angle CAB+\angle COP\lt 90^\circ.\]

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo acutángulo. El pie de la altura desde $A_i$ se denota por $K_i$ y el punto de tangencia del círculo inscrito en el lado opuesto a $A_i$ por $L_i$. La recta $K_1K_2$ se refleja respecto de la recta $L_1L_2$ y, de forma análoga, $K_2K_3$ se refleja respecto de $L_2L_3$ y $K_3K_1$ se refleja respecto de $L_3L_1$. Probar que las nuevas rectas así obtenidas forman un triángulo con vértices en la circunferencia inscrita de $A_1A_2A_3$.

Sean $CAMN$ y $NMDB$ cuadriláteros cíclicos y supongamos que $AB$ es una tangente común a sus circunferencias circunscritas, siendo $M$ un punto interior del segmento $CD$ y $CD$ paralela a $AB$. Las cuerdas $NA$ y $CM$ se cortean $P$ y las cuerdas $NB$ y $MD$ se cortan en $Q$. Si las rectas $CA$ y $BD$ se cortan en $E$, demostrar que $PE=QE$.

Dos circunferencias $G_1$ y $G_2$ son tangentes interiores a una circunferencia $G$ en puntos distintos $M$ y $N$, respectivamente. Además, $G_1$ pasa por el centro de $G_2$. La recta que pasa por los dos puntos de intersección de $G_1$ y $G_2$ corta a $G$ de nuevo en $A$ y $B$. Las rectas $MA$ y $MB$ cortan a $G_1$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Demostrar que $CD$ es tangente a $G_2$.

Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ y supongamos que la circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $K,L,M$, respectivamente. La recta que pasa por $B$ y es paralela a $MK$ corta a las rectas $LM$ y $LK$ en $R$ y $S$, respectivamente. Demostrar que el ángulo $RIS$ es agudo.