Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $T$ un triángulo isósceles. Otro triángulo isósceles $T'$ tiene un vértice en cada lado de $T$. Determinar el menor valor posible de la razón $\mathrm{Área}(T')/\mathrm{Área}(T)$.

Sea $n\gt 3$ un entero y sea $S$ el conjunto de puntos $(a,b)$ de coordenadas enteras $0\leq a,b\lt n$. Demostrar que podemos encontrar $n$ puntos en $S$ de forma que no haya tres alineados ni cuatro que sean los vértices de un paralelogramo.

Un polígono de $n$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $R$. Tomamos un punto en cada lo del polígono para formar otro polígono de $n$ lados. Demostrar que el nuevo polígono tiene perímetro mayor o igual que $\frac{2A}{R}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero y $M$ un punto en su interior de forma que $ABMD$ es un paralelogramo. Si $\angle CBM=\angle CDM$, demostrar que $\angle ACD=\angle BCM$.

A cada vértice de un polígono llegan exactamente tres aristas y cada una de sus caras es un polígono cíclico (hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices). Demostrar que todos los vértices del polígono están sobre una esfera.