Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos circunferencias $G_1$ y $G_2$ son tangentes interiores a una circunferencia $G$ en puntos distintos $M$ y $N$, respectivamente. Además, $G_1$ pasa por el centro de $G_2$. La recta que pasa por los dos puntos de intersección de $G_1$ y $G_2$ corta a $G$ de nuevo en $A$ y $B$. Las rectas $MA$ y $MB$ cortan a $G_1$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Demostrar que $CD$ es tangente a $G_2$.

Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ y supongamos que la circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $K,L,M$, respectivamente. La recta que pasa por $B$ y es paralela a $MK$ corta a las rectas $LM$ y $LK$ en $R$ y $S$, respectivamente. Demostrar que el ángulo $RIS$ es agudo.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y los lados opuestos $AB$ y $CD$ no son paralelos. Supongamos que el punto $P$ en el que se cortan las mediatrices de $AB$ y $DC$ es interior a $ABCD$. Demostrar que $ABCD$ es cíclico si y sólo si las triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen la misma área.

Sea $ABC$ un triángulo cuyo ángulo menor es el del vértice $A$. Los puntos $B$ y $C$ dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos y supongamos que $U$ es un punto en el arco que no contiene a $A$. Las mediatrices de $AB$ y $AC$ cortan a la recta $AU$ en $V$ y $W$, respectivamente, y las rectas $BV$ y $BW$ se cortan en $T$. Demostrar que \[AU=TB+TC.\]

Se considera el plano como un tablero de ajedrez infinito en el que las casillas están coloreadas de blanco y negro de forma alternada y los vértices de las casillas son los puntos de coordenadas enteras. Para cada par de enteros positivos $m$ y $n$, consideremos un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos tienen longitudes $m$ y $n$ y están contenidos en los ejes de la cuadrícula.

Sea $S_1$ el área total de la parte negara del triángulo y $S_2$ el área total de la parte blanca. Definimos entonces \[f(m,n)=|S_1-S_2|.\]

1. Calcular $f(m,n)$ para todos los enteros positivos $m$ y $n$ que son ambos pares o ambos impares.
2. Demostrar que $f(m,n)\leq\frac{1}{2}\max\{m,n\}$ para todo $m$ y $n$.
3. Probar que no hay ninguna constante $C$ tal que $f(m,n)\lt C$ para todo $m$ y $n$.