Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y los lados opuestos $AB$ y $CD$ no son paralelos. Supongamos que el punto $P$ en el que se cortan las mediatrices de $AB$ y $DC$ es interior a $ABCD$. Demostrar que $ABCD$ es cíclico si y sólo si las triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen la misma área.

Sea $ABC$ un triángulo cuyo ángulo menor es el del vértice $A$. Los puntos $B$ y $C$ dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos y supongamos que $U$ es un punto en el arco que no contiene a $A$. Las mediatrices de $AB$ y $AC$ cortan a la recta $AU$ en $V$ y $W$, respectivamente, y las rectas $BV$ y $BW$ se cortan en $T$. Demostrar que \[AU=TB+TC.\]

Se considera el plano como un tablero de ajedrez infinito en el que las casillas están coloreadas de blanco y negro de forma alternada y los vértices de las casillas son los puntos de coordenadas enteras. Para cada par de enteros positivos $m$ y $n$, consideremos un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos tienen longitudes $m$ y $n$ y están contenidos en los ejes de la cuadrícula.

Sea $S_1$ el área total de la parte negara del triángulo y $S_2$ el área total de la parte blanca. Definimos entonces \[f(m,n)=|S_1-S_2|.\]

1. Calcular $f(m,n)$ para todos los enteros positivos $m$ y $n$ que son ambos pares o ambos impares.
2. Demostrar que $f(m,n)\leq\frac{1}{2}\max\{m,n\}$ para todo $m$ y $n$.
3. Probar que no hay ninguna constante $C$ tal que $f(m,n)\lt C$ para todo $m$ y $n$.

Sea $P$ un punto del interior del triángulo $ABC$ tal que \[\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC.\] Sean $D$ y $E$ los incentros de los triángulos $APB$ y $APC$, respectivamente. Demostrar que las rectas $AP$, $BD$ y $CE$ tienen un punto en común.

Determinar todos los enteros $n\gt 3$ para los que existen $n$ puntos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ en el plano tales que no hay tres alineados, y números reales $r_1,r_2,\ldots,r_n$ tales que el area del triángulo $A_iA_jA_k$ es igual a $r_i+r_j+r_k$ para todo $1\leq i\lt j\lt k\leq n$.