Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se considera el plano como un tablero de ajedrez infinito en el que las casillas están coloreadas de blanco y negro de forma alternada y los vértices de las casillas son los puntos de coordenadas enteras. Para cada par de enteros positivos $m$ y $n$, consideremos un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos tienen longitudes $m$ y $n$ y están contenidos en los ejes de la cuadrícula.

Sea $S_1$ el área total de la parte negara del triángulo y $S_2$ el área total de la parte blanca. Definimos entonces \[f(m,n)=|S_1-S_2|.\]

1. Calcular $f(m,n)$ para todos los enteros positivos $m$ y $n$ que son ambos pares o ambos impares.
2. Demostrar que $f(m,n)\leq\frac{1}{2}\max\{m,n\}$ para todo $m$ y $n$.
3. Probar que no hay ninguna constante $C$ tal que $f(m,n)\lt C$ para todo $m$ y $n$.

Sea $P$ un punto del interior del triángulo $ABC$ tal que \[\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC.\] Sean $D$ y $E$ los incentros de los triángulos $APB$ y $APC$, respectivamente. Demostrar que las rectas $AP$, $BD$ y $CE$ tienen un punto en común.

Determinar todos los enteros $n\gt 3$ para los que existen $n$ puntos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ en el plano tales que no hay tres alineados, y números reales $r_1,r_2,\ldots,r_n$ tales que el area del triángulo $A_iA_jA_k$ es igual a $r_i+r_j+r_k$ para todo $1\leq i\lt j\lt k\leq n$.

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos distintos sobre una recta, dispuestos en el orden dado. Las circunferencias de diámetros $AC$ y $BD$ se cortan en los puntos $X$ e $Y$ y lar recta $XY$ corta a $BC$ en el punto $Z$. Sea $P$ un punto arbitrario de la recta $XY$ distinto de $Z$. Pongamos que la recta $CP$ corta al círculo de diámetro $AC$ en $C$ y $M$, mientras que la recta $BP$ corta al círculo de diámetro $BD$ en $B$ y $N$. Demostrar que las rectas $AM$, $DN$ y $XY$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Supongamos que

• $M$ es el punto medio de $BC$ y $O$ es el punto de la recta $AM$ tal que $OB$ es perpendicular a $AB$;
• $Q$ es un punto arbitrario del segmento $BC$ distinto de $B$ y $C$;
• $E$ y $F$ son puntos de las rectas $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $E,Q,F$ son puntos distintos y alineados.

Demostrar que $OQ$ es perpendicular a $EF$ si y solo si $QE=QF$.