Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y consideremos triángulos isósceles $BCD$, $CAE$ y $ABF$ exteriores al triángulo $ABC$, con $BC$, $CA$ y $AB$ como sus respectivas bases. Demostrar que las rectas que pasan por $A$, $B$ y $C$ y son perpendiculares a las rectas $EF$, $FD$ y $DE$, respectivamente, son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo y $M$ un punto de su interior tal que $\angle MAB = 10^\circ$, $\angle MBA = 20^\circ$, $\angle MAC = 40^\circ$ y $\angle MCA = 30^\circ$. Demostrar que el triángulo es isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo en el plano. Probar que existe una recta $\ell$ tal que la intersección del interior del triángulo $ABC$ y el interior de su reflexión $A’B’C’$ respecto a $\ell$ tenga un área mayor que dos tercios del área del triángulo $ABC$.

Sean $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sean $E$ y $F$ puntos distintos de $D$ y alineados con $D$ de forma que $AE$ es perpendicular a $BE$ y $AF$ es perpendicular a $CF$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $EF$, respectivamente. Demostrar que $AN$ es perpendicular a $NM$.

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo rectángulo en $A_3$. Se define una sucesión de puntos mediante el siguiente proceso iterativo, donde $n$ es un número entero positivo. Desde $A_n$ ($n \geq 3$), se traza una perpendicular a la recta $A_{n-2}A_{n-1}$, que corta a dicha recta en $A_{n+1}$.

1. Demostrar que, si este proceso se continúa indefinidamente, existe un único punto $P$ que es interior a todos los triángulos $A_{n-2}A_{n-1}A_n$, $n \geq 3$.
2. Sean $A_1$ y $A_3$ puntos fijos. Considerando todas las posibles posiciones de $A_2$ en el plano, hallar el lugar geométrico de $P$.