Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos distintos sobre una recta, dispuestos en el orden dado. Las circunferencias de diámetros $AC$ y $BD$ se cortan en los puntos $X$ e $Y$ y lar recta $XY$ corta a $BC$ en el punto $Z$. Sea $P$ un punto arbitrario de la recta $XY$ distinto de $Z$. Pongamos que la recta $CP$ corta al círculo de diámetro $AC$ en $C$ y $M$, mientras que la recta $BP$ corta al círculo de diámetro $BD$ en $B$ y $N$. Demostrar que las rectas $AM$, $DN$ y $XY$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Supongamos que

• $M$ es el punto medio de $BC$ y $O$ es el punto de la recta $AM$ tal que $OB$ es perpendicular a $AB$;
• $Q$ es un punto arbitrario del segmento $BC$ distinto de $B$ y $C$;
• $E$ y $F$ son puntos de las rectas $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $E,Q,F$ son puntos distintos y alineados.

Demostrar que $OQ$ es perpendicular a $EF$ si y solo si $QE=QF$.

Sea $D$ un punto interior al triángulo $ABC$ tal que $\angle ADB=\angle ACB+90^\circ$ y $AC\cdot BD=AD\cdot BC$.

1. Calcular la razón $(AB\cdot CD)/(AC\cdot BD)$.
2. Probar que las tangentes en $C$ a las circunferencias circunscritas a los triángulos $ACD$ y $BCD$ son perpendiculares.

En el plano tenemos una circunferencia $C$, una recta $L$ tangente a $C$ y un punto $M$ en $L$. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $P$ con la siguiente propiedad: existen puntos $Q,R$ en $L$ tales que $M$ es el punto medio de $QR$ y $C$ es la circunferencia inscrita del triángulo $PQR$.

Sean $ABC$ un triángulo y $P$ un punto de su interior. Demostrar que al menos uno de los ángulos $\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA$ es menor o igual que $30^\circ$.