Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En el plano tenemos una circunferencia $C$, una recta $L$ tangente a $C$ y un punto $M$ en $L$. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $P$ con la siguiente propiedad: existen puntos $Q,R$ en $L$ tales que $M$ es el punto medio de $QR$ y $C$ es la circunferencia inscrita del triángulo $PQR$.

Sean $ABC$ un triángulo y $P$ un punto de su interior. Demostrar que al menos uno de los ángulos $\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA$ es menor o igual que $30^\circ$.

Probar que existe un polígono convexo de $1990$ lados con las siguientes dos propiedades:

• Todos sus ángulos son iguales.
• Las longitudes de los $1990$ lados son los números $1^2,2^2,\ldots,1990^2$.

En una circunferencia se trazan las cuerdas $AB$ y $CD$, que se cortan en un punto $E$. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La recta tangente en $E$ a la circunferencia circuscrita del triángulo $DEM$ corta a las rectas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Encontrar el valor de \[\frac{EG}{EF}\] en términos de $t=\frac{AM}{AB}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AB=AD+BC$. Supongamos que $P$ es un punto interior al cuadrilátero a distancia $h$ de $CD$ y tal que $AP=h+AD$ y $BP=h+BC$. Demostrar que \[\frac{1}{\sqrt{h}}\geq\frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}.\]