Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Probar que existe un polígono convexo de $1990$ lados con las siguientes dos propiedades:

• Todos sus ángulos son iguales.
• Las longitudes de los $1990$ lados son los números $1^2,2^2,\ldots,1990^2$.

En una circunferencia se trazan las cuerdas $AB$ y $CD$, que se cortan en un punto $E$. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La recta tangente en $E$ a la circunferencia circuscrita del triángulo $DEM$ corta a las rectas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Encontrar el valor de \[\frac{EG}{EF}\] en términos de $t=\frac{AM}{AB}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AB=AD+BC$. Supongamos que $P$ es un punto interior al cuadrilátero a distancia $h$ de $CD$ y tal que $AP=h+AD$ y $BP=h+BC$. Demostrar que \[\frac{1}{\sqrt{h}}\geq\frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}.\]

En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a la circunferencia circunscrita de nuevo en el punto $A_1$ y, de forma similar, se definen los puntos $B_1$ y $C_1$. Sea $A_0$ el punto en el que concurren la recta $AA_1$ y las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$; los puntos $B_0$ y $C_0$ se definen de forma similar.

1. Demostrar que el área del triángulo $A_0B_0C_0$ es el doble que el área del hexágono $AC_1BA_CB_1$.
2. Demostrar que el área del triángulo $A_0B_0C_0$ es al menos $4$ veces el área del triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en el vértice $A$ y sea $D$ el pie de la altura desde $A$. La recta que une los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Sean $S$ y $T$ las áreas de los triángulos $ABC$ y $AKL$. Demostrar que $S\geq 2T$.