Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a la circunferencia circunscrita de nuevo en el punto $A_1$ y, de forma similar, se definen los puntos $B_1$ y $C_1$. Sea $A_0$ el punto en el que concurren la recta $AA_1$ y las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$; los puntos $B_0$ y $C_0$ se definen de forma similar.

1. Demostrar que el área del triángulo $A_0B_0C_0$ es el doble que el área del hexágono $AC_1BA_CB_1$.
2. Demostrar que el área del triángulo $A_0B_0C_0$ es al menos $4$ veces el área del triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en el vértice $A$ y sea $D$ el pie de la altura desde $A$. La recta que une los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Sean $S$ y $T$ las áreas de los triángulos $ABC$ y $AKL$. Demostrar que $S\geq 2T$.

Consideremos dos circunferencias concéntricas en el plano de radios $R$ y $r$, con $R\gt r$. Sea $P$ un punto fijo de la circunferencia pequeña y $B$ un punto variable en la grande. La recta $BP$ corta a la circunferencia grande de nuevo en un punto $C$. La perpendicular $\ell$ a $BP$ que pasa por $P$ corta a la circunferencia pequeña de nuevo en $A$ (si $\ell$ fuera tangente a dicha circunferencia en $P$, entonces tomamos $A=P$).

1. Encontrar los valores que puede tomar $BC^2+CA^2+AB^2$ al variar $B$.
2. Hallar el lugar geométrico del punto medio de $BC$ al variar $B$.

En un triángulo acutángulo $ABC$ la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en el punto $L$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en un segundo punto $N$. Desde el punto $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $BC$, cuyos pies llamaremos $K$ y $M$, respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen la misma área.

Sean $A$ y $B$ vértices adyacentes de un polígono regular de $n\geq 5$ lados con centro en $O$. Un triángulo $XYZ$ es congruente con $OAB$ y se mueve en el plano de modo que inicialmente coincide con $OAB$ y después $Y$ y $Z$ recorren toda la frontera del polígono, quedando $X$ dentro del polígono. Encontrar el lugar geométrico de $X$.