Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos dos circunferencias concéntricas en el plano de radios $R$ y $r$, con $R\gt r$. Sea $P$ un punto fijo de la circunferencia pequeña y $B$ un punto variable en la grande. La recta $BP$ corta a la circunferencia grande de nuevo en un punto $C$. La perpendicular $\ell$ a $BP$ que pasa por $P$ corta a la circunferencia pequeña de nuevo en $A$ (si $\ell$ fuera tangente a dicha circunferencia en $P$, entonces tomamos $A=P$).

1. Encontrar los valores que puede tomar $BC^2+CA^2+AB^2$ al variar $B$.
2. Hallar el lugar geométrico del punto medio de $BC$ al variar $B$.

En un triángulo acutángulo $ABC$ la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en el punto $L$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en un segundo punto $N$. Desde el punto $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $BC$, cuyos pies llamaremos $K$ y $M$, respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen la misma área.

Sean $A$ y $B$ vértices adyacentes de un polígono regular de $n\geq 5$ lados con centro en $O$. Un triángulo $XYZ$ es congruente con $OAB$ y se mueve en el plano de modo que inicialmente coincide con $OAB$ y después $Y$ y $Z$ recorren toda la frontera del polígono, quedando $X$ dentro del polígono. Encontrar el lugar geométrico de $X$.

Se tienen un triángulo $A_1A_2A_3$ y un punto $P_0$ en el plano. Definimos $A_s=A_{s-3}$ para todo $s\geq 4$ y construimos una sucesión de puntos $\{P_1,P_2,P_3,\ldots\}$ de forma que $P_{k+1}$ es la rotación de $P_k$ con centro en $A_{k+1}$ y ángulo $120^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj. Demostrar que si $P_{1986}=P_0$, entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.

Una circunferencia con centro en un punto $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ de un triángulo $ABC$ y corta a los lados $AB$ y $BC$ de nuevo en puntos distintos $K$ y $N$, respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $EBN$ se cortan en exactamente dos puntos: $B$ y otro punto $M$. Demostrar que el ángulo $\angle OMB$ es recto.