Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen un triángulo $A_1A_2A_3$ y un punto $P_0$ en el plano. Definimos $A_s=A_{s-3}$ para todo $s\geq 4$ y construimos una sucesión de puntos $\{P_1,P_2,P_3,\ldots\}$ de forma que $P_{k+1}$ es la rotación de $P_k$ con centro en $A_{k+1}$ y ángulo $120^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj. Demostrar que si $P_{1986}=P_0$, entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.

Una circunferencia con centro en un punto $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ de un triángulo $ABC$ y corta a los lados $AB$ y $BC$ de nuevo en puntos distintos $K$ y $N$, respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $EBN$ se cortan en exactamente dos puntos: $B$ y otro punto $M$. Demostrar que el ángulo $\angle OMB$ es recto.

Una circunferencia tiene su centro en el lado $AB$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados de $ABCD$ son tangentes a dicha circunferencia. Probar que $AD+BC=AB$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que la recta $CD$ es tangente a la circunferencia que tiene a $AB$ por diámetro. Demostrar que la recta $AB$ es tangente a la circunferencia que tiene a $CD$ por diámetro si, y sólo si, las rectas $BC$ y $AD$ son paralelas.

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que \[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0\] y determinar bajo qué condiciones se tiene una igualdad.