Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $A$ uno de los dos puntos de intersección de dos circunferencias $C_1$ y $C_2$ de distintos radios, cuyos centros denotamos por $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra tangente común toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demostrar que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$ y sea $L$ un camino interior a $S$ que no pasa dos veces por el mismo punto y está compuesto de segmentos rectilíneos $A_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n$ con $A_0\neq A_n$. Supongamos que para todo punto $P$ del borde de $S$ hay un punto de $L$ a distancia de $P$ no mayor que $1/2$. Demostrar que hay dos puntos $X$ e $Y$ en $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que queda entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$.

Las diagonales $AC$ y $CE$ de un hexágono regular $ABCDEF$ quedan divididas por puntos interiores $M$ y $N$, respectivamente, de forma que \[\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r.\] Hallar los valores de $r$ para los que los puntos $B,M,N$ están alineados.

Un triángulo escaleno $A_1A_2A_3$ tiene lados $a_1,a_2,a_3$ (siendo $a_i$ el lado opuesto de $A_i$). Para cada $i\in\{1,2,3\}$, se definen $M_i$ como el punto medio de $a_i$, $T_i$ como el punto en el que la circunferencia inscrita del triángulo es tangente a $a_i$ y $S_i$ el punto simétrico de $T_i$ respecto de la bisectriz interior del ángulo $A_i$. Demostrar que las rectas $M_1S_1,M_2S_2,M_3S_3$ son concurrentes.

Tres circunferencias del mismo radio tienen un punto en común $O$ y están contenidas dentro de un triángulo. Cada una de ellas es tangente a un par de lados del triángulo. Demostrar que el punto $O$ está alineado con el incentro y el circuncentro del triángulo.