Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Las diagonales $AC$ y $CE$ de un hexágono regular $ABCDEF$ quedan divididas por puntos interiores $M$ y $N$, respectivamente, de forma que \[\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r.\] Hallar los valores de $r$ para los que los puntos $B,M,N$ están alineados.

Un triángulo escaleno $A_1A_2A_3$ tiene lados $a_1,a_2,a_3$ (siendo $a_i$ el lado opuesto de $A_i$). Para cada $i\in\{1,2,3\}$, se definen $M_i$ como el punto medio de $a_i$, $T_i$ como el punto en el que la circunferencia inscrita del triángulo es tangente a $a_i$ y $S_i$ el punto simétrico de $T_i$ respecto de la bisectriz interior del ángulo $A_i$. Demostrar que las rectas $M_1S_1,M_2S_2,M_3S_3$ son concurrentes.

Tres circunferencias del mismo radio tienen un punto en común $O$ y están contenidas dentro de un triángulo. Cada una de ellas es tangente a un par de lados del triángulo. Demostrar que el punto $O$ está alineado con el incentro y el circuncentro del triángulo.

Sea $P$ un punto interior a un triángulo $ABC$ y sean $D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las rectas $BC,CA,AB$, respectivamente. Encontrar todos los puntos $P$ para los que se cumple que \[\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}\] alcanza su menor valor posible.

Coloreamos algunos puntos del plano de rojo de forma que si $P$ y $Q$ están coloreados y $X$ es un punto tal que el triángulo $PQX$ tiene ángulos de $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ (en algún orden), entonces $X$ también está coloreado. Si tenemos tres puntos $A,B,C$ coloreados, demostrar que el baricentro del triángulo $ABC$ también está coloreado.