Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P$ un punto interior a un triángulo $ABC$ y sean $D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las rectas $BC,CA,AB$, respectivamente. Encontrar todos los puntos $P$ para los que se cumple que \[\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}\] alcanza su menor valor posible.

Coloreamos algunos puntos del plano de rojo de forma que si $P$ y $Q$ están coloreados y $X$ es un punto tal que el triángulo $PQX$ tiene ángulos de $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ (en algún orden), entonces $X$ también está coloreado. Si tenemos tres puntos $A,B,C$ coloreados, demostrar que el baricentro del triángulo $ABC$ también está coloreado.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $M$ y $n$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente. Dado un punto $D$ en el interior del segmento $BC$ tal que $DB\lt DC$, sean $P$ y $Q$ las intersecciones de $DM$ y $DN$ con $AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $R\neq A$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAQ$ y $AMN$. Si $K$ es el punto medio de $AR$, demostrar que $\angle MKN=2\angle BAC$.

Dado un plano $\pi$ en el espacio, sean $P$ un punto que está en $\pi$ y $Q$ un punto que no está en $\pi$. Encontrar todos los puntos $R$ en $\pi$ tales que la razón $(QP+PA)/QR$ es máxima.

Se tienen dos círculos en el plano que se cortan y sea $A$ uno de los puntos de intersección. Dos puntos $X$ e $Y$ se mueven a lo largo de sendas circunferencias a velocidades constantes empezando en $A$ y terminando en $A$ después de completar ambos una vuelta en el mismo tiempo y girando en el mismo sentido. Demostrar que hay un punto fijo $P$ en el plano tal que $PX=PY$ en todo momento.