Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $M$ y $n$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente. Dado un punto $D$ en el interior del segmento $BC$ tal que $DB\lt DC$, sean $P$ y $Q$ las intersecciones de $DM$ y $DN$ con $AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $R\neq A$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAQ$ y $AMN$. Si $K$ es el punto medio de $AR$, demostrar que $\angle MKN=2\angle BAC$.

Dado un plano $\pi$ en el espacio, sean $P$ un punto que está en $\pi$ y $Q$ un punto que no está en $\pi$. Encontrar todos los puntos $R$ en $\pi$ tales que la razón $(QP+PA)/QR$ es máxima.

Se tienen dos círculos en el plano que se cortan y sea $A$ uno de los puntos de intersección. Dos puntos $X$ e $Y$ se mueven a lo largo de sendas circunferencias a velocidades constantes empezando en $A$ y terminando en $A$ después de completar ambos una vuelta en el mismo tiempo y girando en el mismo sentido. Demostrar que hay un punto fijo $P$ en el plano tal que $PX=PY$ en todo momento.

En un triángulo isósceles $ABC$ con $AB=AC$, se traza una circunferencia que es tangente interiormente a la circunferencia circunscrita y también a los lados $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que el punto medio del segmento $PQ$ es el centro de la circunferencia inscrita de $ABC$.

Sea $P$ un punto interior a una esfera dada. Con vértice en $P$ parten tres semirrectas perpendiculares dos a dos que cortan a la esfera en los puntos $U$, $V$ y $W$. Si $Q$ es el vértice opuesto a $P$ en el paralelepípedo que tiene por lados $PU$, $PV$ y $PW$, hallar el lugar geométrico de $Q$ al variar la terna de semirrectas que parten de $P$.