Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo isósceles $ABC$ con $AB=AC$, se traza una circunferencia que es tangente interiormente a la circunferencia circunscrita y también a los lados $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que el punto medio del segmento $PQ$ es el centro de la circunferencia inscrita de $ABC$.

Sea $P$ un punto interior a una esfera dada. Con vértice en $P$ parten tres semirrectas perpendiculares dos a dos que cortan a la esfera en los puntos $U$, $V$ y $W$. Si $Q$ es el vértice opuesto a $P$ en el paralelepípedo que tiene por lados $PU$, $PV$ y $PW$, hallar el lugar geométrico de $Q$ al variar la terna de semirrectas que parten de $P$.

En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos triángulos equiláteros $ABK$, $BCL$, $CDM$ y $DAN$. Demostrar uqe los puntos medios de los cuatro segmentos $KL,LM,MN,NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN$ son los vértices de un dodecágono regular.

Dado un cuadrilátero convexo plano de área $32$, la suma de las longitudes de dos lados opuestos y una diagonal es $16$. Hallar todas las posibles longitudes que puede tener la otra diagonal.

Sobre los lados de un triángulo $ABC$ se construyen externamente triángulos $ABR$, $BCP$ y $CAQ$ tales que $\angle CBP=\angle CAQ=45^\circ$, $\angle BCP=\angle ACQ=30^\circ$ y $\angle ABR=\angle BAR=15^\circ$. Demostrar que $\angle QRP=90^\circ$ y $QR=RP$.