Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sean $E$ y $F$ puntos distintos de $D$ y alineados con $D$ de forma que $AE$ es perpendicular a $BE$ y $AF$ es perpendicular a $CF$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $EF$, respectivamente. Demostrar que $AN$ es perpendicular a $NM$.

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo rectángulo en $A_3$. Se define una sucesión de puntos mediante el siguiente proceso iterativo, donde $n$ es un número entero positivo. Desde $A_n$ ($n \geq 3$), se traza una perpendicular a la recta $A_{n-2}A_{n-1}$, que corta a dicha recta en $A_{n+1}$.

1. Demostrar que, si este proceso se continúa indefinidamente, existe un único punto $P$ que es interior a todos los triángulos $A_{n-2}A_{n-1}A_n$, $n \geq 3$.
2. Sean $A_1$ y $A_3$ puntos fijos. Considerando todas las posibles posiciones de $A_2$ en el plano, hallar el lugar geométrico de $P$.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia y definamos $$l_a = \frac{m_a}{M_a}, \quad l_b = \frac{m_b}{M_b}, \quad l_c = \frac{m_c}{M_c},$$ donde $m_a, m_b, m_c$ son las longitudes de las bisectrices internas del triángulo y $M_a, M_b, M_c$ son las longitudes de esas bisectrices prolongadas hasta encontrarse con la circunferencia. Probar que $$ \frac{l_a}{\sin^2 A} + \frac{l_b}{\sin^2 B} + \frac{l_c}{\sin^2 C} \geq 3, $$

\item Sean \(P_1, P_2, P_3, P_4\) cuatro puntos en una circunferencia, y sea \(I_1\) el incentro del triángulo \(P_2P_3P_4\), \(I_2\) el incentro del triángulo \(P_1P_3P_4\), \(I_3\) el incentro del triángulo \(P_1P_2P_4\) e \(I_4\) el incentro del triángulo \(P_1P_2P_3\). Demostrar que los puntos \(I_1, I_2, I_3, I_4\) son los vértices de un rectángulo.

Sea \(ABCD\) un cuadrilátero tal que \(AB = BC = CD = DA\). Sean los segmentos \(MN\) y \(PQ\), ambos perpendiculares a la diagonal \(BD\), y tales que la distancia entre ellos es \(d \gt BD/2\), con \(M \in AD\), \(N \in DC\), \(P \in AB\), y \(Q \in BC\). Demostrar que el perímetro del hexágono \(AMNCQP\) no depende de la posición de \(MN\) y \(PQ\) siempre que la distancia entre ellos permanezca constante.