Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Si un tetraedro admite una esfera inscrita que es tangente a cada una de sus caras en su circuncentro, demostrar que el tetraedro es regular.

Consideremos la parábola $y=x^2$ dibujada en un plano donde se han borrado los ejes de coordenadas. ¿Es posible recuperar dichos ejes mediante regla y compás?

Dada una poligonal cerrada $M$ con un número impar de vértices $A_1,A_2,\ldots,A_{2n+1}$ (en este orden), denotaremos por $S(M)$ a la poligonal cerrada cuyos vértices $B_1,B_2,\ldots,B_{2n+1}$ (en este orden) son los puntos medios de los lados de $M$, es decir, $B_1$ es el punto medio de $A_1A_2$, $B_2$ el punto medio de $A_2A_3$ y así sucesivamente hasta $B_{2n+1}$, que es el punto medio de $A_{2n+1}A_1$. Demostrar que en la sucesión \[S(M),S(S(M)),S(S(S(M))),\ldots\] aparece una poligonal que es homotética a la poligonal original $M$.

Sea $M$ un punto interior a un tetraedro rectángulo. Demostrar que existen dos vértices $A$ y $B$ del tetraedro tales que $\cos(\angle AMB)\leq\frac{-1}{3}$.

Dado un paralelogramo $ABCD$ que no es un rombo, consideramos un punto $M$ tal que $AC$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAM$ y $BD$ es la bisectriz del ángulo $\angle CBM$. Hallar la relación $\frac{AM}{BM}$ en función de $k=\frac{AC}{BD}$.