Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo $ABC$, demostrar que existe un punto $D$ en el lado $AB$ tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $DB$ si y sólo si \[\mathrm{sen}\,A\,\mathrm{sen}\,B\leq\mathrm{sen}^2\tfrac{C}{2}.\]

Un soldado necesita comprobar la presencia de minas en una región que tiene la forma de un triángulo equilátero. El radio de acción de su detector es igual a la mitad de la altura del triángulo. Si el soldado parte de un vértice del triángulo, ¿cuál sería el camino que debería tomar para cumplir su misión recorriendo la mínima distancia?

Determinar si puede existir un conjunto finito $M$ de puntos del espacio, no todos ellos coplanarios, tal que, para cualesquiera dos puntos $A$ y $B$ de $M$, podemos elegir otros dos puntos $C$ y $D$ en $M$ de forma que las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas pero no coincidentes.

Dados cuatro planos paralelos distintos en el espacio, demostrar que existe un tetraedro regular que tiene un vértice en cada plano.

Demostrar que, para cada $n\geq 4$, cualquier cuadrilátero cíclico admite una disección en $n$ cuadriláteros cíclicos.