Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D,E,F$ los punto simétrico de $A,B,C$ respecto de los lados opuestos $BC,CA,AB$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $DBC$, $ECA$ y $FAB$ concurren en un punto y que las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ también concurren en un punto.

Supongamos que las rectas $OA$ y $OB$ son tangentes a una circunferencia en los puntos $A$ y $B$. La paralela a $OB$ que pasa por $A$ corta a la circunferencia de nuevo en el punto $C$ y la recta $OC$ corta de nuevo a la circunferencia en $E$. Si la semirrecta $AE$ corta a la recta $OB$ en $K$, demostrar que $K$ es el punto medio de $OB$.

Sea $P$ un polígono convexo y $X$ un punto interior tal que para cualquiera dos vértices $A$ y $B$ de $P$, el triángulo $XAB$ es isósceles. Demostrar que todos los vértices de $P$ están sobre un mismo círculo de centro $X$.

Un heptágono está inscrito en una circunferencia cuyo centro cae en el interior del heptágono. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de tres vértices consecutivos del heptágono es siempre menor que $450^\circ$.

Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$. Demostrar que la recta que une los circuncentros de los triángulos $ABO$ y $CDO$ es perpendicular a la recta que une los ortocentros de $BCO$ y $ADO$.