Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P$ un polígono convexo y $X$ un punto interior tal que para cualquiera dos vértices $A$ y $B$ de $P$, el triángulo $XAB$ es isósceles. Demostrar que todos los vértices de $P$ están sobre un mismo círculo de centro $X$.

Un heptágono está inscrito en una circunferencia cuyo centro cae en el interior del heptágono. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de tres vértices consecutivos del heptágono es siempre menor que $450^\circ$.

Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$. Demostrar que la recta que une los circuncentros de los triángulos $ABO$ y $CDO$ es perpendicular a la recta que une los ortocentros de $BCO$ y $ADO$.

Sea $ABCD$ un rectángulo y sean $M$ el punto medio de $AD$ y $N$ el punto medio de $BC$. Sea $P$ un punto del plano tal que $D$ está en el segmento $CP$ y supongamos que la semirrecta $PM$ corta a $AC$ en un punto $Q$. Demostrar que la recta $MN$ es la bisectriz del ángulo $\angle PNQ$.

Dibujado el triángulo de vértices $A,B,C$, se pide determinar gráficamente el punto $P$ tal que \[\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA.\] Expresar una función trigonométrica de este ángulo $\angle PAB$ en función de las funciones trigonométricas de los ángulos $A$, $B$ y $C$.