Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dada una poligonal cerrada $M$ con un número impar de vértices $A_1,A_2,\ldots,A_{2n+1}$ (en este orden), denotaremos por $S(M)$ a la poligonal cerrada cuyos vértices $B_1,B_2,\ldots,B_{2n+1}$ (en este orden) son los puntos medios de los lados de $M$, es decir, $B_1$ es el punto medio de $A_1A_2$, $B_2$ el punto medio de $A_2A_3$ y así sucesivamente hasta $B_{2n+1}$, que es el punto medio de $A_{2n+1}A_1$. Demostrar que en la sucesión \[S(M),S(S(M)),S(S(S(M))),\ldots\] aparece una poligonal que es homotética a la poligonal original $M$.

Sea $M$ un punto interior a un tetraedro rectángulo. Demostrar que existen dos vértices $A$ y $B$ del tetraedro tales que $\cos(\angle AMB)\leq\frac{-1}{3}$.

Dado un paralelogramo $ABCD$ que no es un rombo, consideramos un punto $M$ tal que $AC$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAM$ y $BD$ es la bisectriz del ángulo $\angle CBM$. Hallar la relación $\frac{AM}{BM}$ en función de $k=\frac{AC}{BD}$.

Sean $M$ y $K$ dos puntos en la circunferencia de centro $O_1$ y radio $r_1$. Consideremos una circunferencia de centro $O_2$ y radio $r_2$ inscrita en el ángulo $\angle MO_1K$. Hallar el área del cuadrilátero $MO_1KO_2$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. Sea $I$ su incentro. Las rectas $BI$ y $CI$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P\neq B$ y en $Q\neq C$, respectivamente. Se toman puntos $R$ y $S$ tales que $AQRB$ y $ACSP$ son paralelogramos (con $AQ$ paralela a $RB$, $AB$ paralela a $QR$, $AC$ paralela a $SP$ y $AP$ paralela a $CS$). Sea $T$ el punto de intersección de las rectas $RB$ y $SC$. Demostrar que los puntos $R$, $S$, $T$ e $I$ están sobre una misma circunferencia.