Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias concéntricas, con $\mathcal{C}_2$ en el interior de $\mathcal{C}_1$. Desde un punto $A$ en $C_1$, se traza la tangente $AB$ a $\mathcal{C}_2$ con $B \in \mathcal{C}_2$. Sea $C$ el segundo punto de intersección de $AB$ con $\mathcal{C}_1$ y sea $D$ el punto medio de $AB$. Una recta que pasa por $A$ corta a $\mathcal{C}_2$ en los puntos $E$ y $F$ de forma que las bisectrices perpendiculares de $DE$ y $CF$ se intersecan en un punto $M$ sobre $AB$. Encontrar justificadamente la razón $\frac{AM}{MC}$.

Sea $ABC$ un triángulo y consideremos triángulos isósceles $BCD$, $CAE$ y $ABF$ exteriores al triángulo $ABC$, con $BC$, $CA$ y $AB$ como sus respectivas bases. Demostrar que las rectas que pasan por $A$, $B$ y $C$ y son perpendiculares a las rectas $EF$, $FD$ y $DE$, respectivamente, son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo y $M$ un punto de su interior tal que $\angle MAB = 10^\circ$, $\angle MBA = 20^\circ$, $\angle MAC = 40^\circ$ y $\angle MCA = 30^\circ$. Demostrar que el triángulo es isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo en el plano. Probar que existe una recta $\ell$ tal que la intersección del interior del triángulo $ABC$ y el interior de su reflexión $A’B’C’$ respecto a $\ell$ tenga un área mayor que dos tercios del área del triángulo $ABC$.

Sean $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sean $E$ y $F$ puntos distintos de $D$ y alineados con $D$ de forma que $AE$ es perpendicular a $BE$ y $AF$ es perpendicular a $CF$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $EF$, respectivamente. Demostrar que $AN$ es perpendicular a $NM$.