Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia y definamos $$l_a = \frac{m_a}{M_a}, \quad l_b = \frac{m_b}{M_b}, \quad l_c = \frac{m_c}{M_c},$$ donde $m_a, m_b, m_c$ son las longitudes de las bisectrices internas del triángulo y $M_a, M_b, M_c$ son las longitudes de esas bisectrices prolongadas hasta encontrarse con la circunferencia. Probar que $$ \frac{l_a}{\sin^2 A} + \frac{l_b}{\sin^2 B} + \frac{l_c}{\sin^2 C} \geq 3, $$

\item Sean \(P_1, P_2, P_3, P_4\) cuatro puntos en una circunferencia, y sea \(I_1\) el incentro del triángulo \(P_2P_3P_4\), \(I_2\) el incentro del triángulo \(P_1P_3P_4\), \(I_3\) el incentro del triángulo \(P_1P_2P_4\) e \(I_4\) el incentro del triángulo \(P_1P_2P_3\). Demostrar que los puntos \(I_1, I_2, I_3, I_4\) son los vértices de un rectángulo.

Sea \(ABCD\) un cuadrilátero tal que \(AB = BC = CD = DA\). Sean los segmentos \(MN\) y \(PQ\), ambos perpendiculares a la diagonal \(BD\), y tales que la distancia entre ellos es \(d \gt BD/2\), con \(M \in AD\), \(N \in DC\), \(P \in AB\), y \(Q \in BC\). Demostrar que el perímetro del hexágono \(AMNCQP\) no depende de la posición de \(MN\) y \(PQ\) siempre que la distancia entre ellos permanezca constante.

Sea $C$ una circunferencia de radio $R$ y centro $O$, y sea $S$ un punto fijo en el interior de $C$. Sean $AA_0$ y $BB_0$ dos cuerdas perpendiculares que pasan por $S$. Se consideran los rectángulos $SAMB$, $SBN_0A_0$, $SA_0M_0B_0$ y $SB_0NA$. Hallar el conjunto de todos los puntos $M, N_0, M_0, N$ cuando $A$ recorre toda la circunferencia $C$.

Sea $PQRS$ un cuadrilátero cíclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelos. Consideramos el conjunto de todas las circunferencias que pasan por $P$ y $Q$, y el conjunto de todas las circunferencias que pasan por $R$ y $S$. Determinar el conjunto $A$ de puntos de tangencia de las circunferencias de estos dos conjuntos.