Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Tres puntos $A',B',C'$ están situados, respectivamente, sobre los lados $BC,CA,AB$ de un triángulo dado $ABC$ de área $S$, de forma que \[\frac{AC'}{AB}=\frac{BA'}{BC}=\frac{CB'}{CA}=p,\] siendo $0\lt p\lt 1$ un parámetro variable. Determinar:

1. El área del triángulo $A'B'C'$ en función de $p$ y $S$.
2. El valor de $p$ que minimiza el área anterior.
3. El lugar geométrico al variar $p$ de los puntos $P$ de intersección de las paralelas trazadas por $A'$ y $C'$, respectivamente, a los lados $AB$ y $AC$.

Los puntos $A',B',C'$ se encuentran respectivamente sobre los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$ y cumplen que \[\frac{AC'}{C'B}=\frac{BA'}{A'C}=\frac{CB'}{B'A}=k.\] Las rectas $AA',BB',CC'$ forman un triángulo $A_1B_1C_1$. En función de $k$ y del área $S$ del triángulo $ABC$, calcular el área del triángulo $A_1B_1C_1$.

Es muy conocido el puzzle consistente en descomponer la cruz griega de la izquierda de la figura en cuatro partes con las que se pueda componer un cuadrado. Una solución habitual es la de la figura de la derecha. Demostrar que hay una infinidad de soluciones diferentes. ¿Hay alguna solución que dé lugar a cuatro partes iguales?

En un triángulo $ABC$ tenemos puntos $D$ y $E$ respectivamente sobre los lados $AB$ y $AC$. Conocemos la medida de los ángulos $\angle ABE=30^\circ$, $\angle EBC = 50^\circ$, $ACD = 20^\circ$ y $\angle DCB = 60^\circ$. Hallar el valor del ángulo $\angle EDC$.

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo no isósceles. Se dan tres círculos concéntricos de radios $a$, $b$ y $c$.

1. ¿Cuántos triángulos equiláteros de áreas distintas pueden construirse, de modo que las rectas que contienen sus lados sean tangentes a cada círculo?
2. Hallar las áreas de dichos triángulos.