Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo $ABC$ tenemos puntos $D$ y $E$ respectivamente sobre los lados $AB$ y $AC$. Conocemos la medida de los ángulos $\angle ABE=30^\circ$, $\angle EBC = 50^\circ$, $ACD = 20^\circ$ y $\angle DCB = 60^\circ$. Hallar el valor del ángulo $\angle EDC$.

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo no isósceles. Se dan tres círculos concéntricos de radios $a$, $b$ y $c$.

1. ¿Cuántos triángulos equiláteros de áreas distintas pueden construirse, de modo que las rectas que contienen sus lados sean tangentes a cada círculo?
2. Hallar las áreas de dichos triángulos.

Un segmento $d$ divide al segmento $s$ si existe un natural $n$ tal que $s$ se descompone en $n$ segmentos iguales de longitud $d$.

1. Demostrar que si el segmento $d$ divide a los segmentos $s$ y $s'$ con $s\lt s'$, entonces divide al segmento diferencia $s'-s$.
2. Demostrar que ningún segmento divide al lado $s$ y a la diagonal $s'$ de un pentágono regular. Se pide razonar sobre el pentágono regular cuyos lados están contenidos en las diagonales del pentágono dado, sin efectuar cálculos numéricos.

Se consideran las semirrectas no alineadas $OX$ y $OY$ de vértice común $O$. Por un punto $A$ de $OX$ se trazan rectas $r_1$ y $r_2$ antiparalelas respecto al ángulo $\angle XOY$. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de $r_1$ con $OY$ y de $r_2$ con $OX$, respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle AMY$ y $\angle ANY$. Hallar el lugar geométrico de $P$ al variar $A$.

Nota. Las rectas $r_1$ y $r_2$ se dicen antiparalelas respecto al ángulo $\angle XOY$ cuando su bisectriz es perpendicular a la bisectriz del ángulo $\angle XOY$.

Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de los puntos del plano y $f:\mathcal{P}\to\mathcal{P}$ una aplicación que cumple las tres condiciones siguientes:

• $f$ es biyectiva.
• Para cada recta $r$ del plano, $f(r)$ es una recta.
• Para cada recta $r$, la recta $f(r)$ es paralela o coincidente con $r$.

¿Qué posibles transformaciones pueden ser $f$?