Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que cumple que $\angle DAB=\angle BCD=90^\circ$ y $\angle ABC\gt \angle CDA$. Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD$, respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S$, respectivamente. Se sabe que $PQ=RS$. Sea $M$ el punto medio de $BD$ y sea $N$ el punto medio de $QR$. Demostrar que los puntos $M$, $N$, $A$ y $C$ están en una misma circunferencia.

Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ del mismo radio se intersecan en dos puntos distintos $X_1$ y $X_2$. Se considera una circunferencia $\omega$ tangente exteriormente a $\omega_1$ en un punto $T_1$ y tangente interiormente a $\omega_2$ en un punto $T_2$. Demostrar que las rectas $X_1T_1$ y $X_2T_2$ se intersecan en un punto que pertenece a $\omega$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y $X$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sean $C_1$, $D_1$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $CX$, $DX$ y $CD$, respectivamente. Las rectas $AD_1$ y $BC_1$ se intersecan en $Y$ y la recta $MY$ interseca a las diagonales $AC$ y $BD$ en dos puntos distintos, que llamamos respectivamente $E$ y $F$. Demostrar que la recta $XY$ es tangente a la circunferencia que pasa por $E$, $F$ y $X$.

Sea $H$ el ortocentro y $G$ el baricentro del triángulo acutángulo $ABC$, con $AB\neq AC$. La recta $AG$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $BC$. Demostrar que $\angle CAB=60^\circ$ si y solo si $HG = GP'$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $ADE$ en $F$. Si $\angle ADF=45^\circ$, probar que $CF$ es tangente a $\omega$.